Centro Universitário Franciscano - UNIFRA

Mestrado Acadêmico em Nanociências
Disciplina de Nanotecnologia I
Atividade 1

Professora Dra. Ivana Zanella da Silva
Aluno: Julio Henrique Hartmann.
Data: 15/08/2012.

Considere um cubo maciço de 10 m de aresta (L). Divida este em N cubos idênticos até atingir uma escala da ordem de nanometros. Avalie a variação da área superficial, considerando o volume total e a massa constante.

Resposta:

 

Aresta do Cubo	Número de Cubos	Área Superficial	Escala
10 m	1 (um)	600 m²	Macro
1 m	1.000 (mil)	6.000 m²	Macro
1 cm	1.000.000.000 (1 bilhão)	600.000 m²	Macro
1 mm	1.000.000.000.000 (1 trilhão)	6.000.000 m²	Macro
1 μ	10E21 (1 sextilhão)	6.000.000.000 m²	Micro
1 nm	10E30 (1 nonilhão)	6.000.000.000.000 m²	Nano

Um cubo tem 8 (oito) vértices, 24 (vinte e quatro) ângulos, 12 (doze) arestas e 6 (seis) lados (ou faces), porém somente seus lados interessam para o cálculo da área superficial.

Um cubo com aresta de 10 (dez) metros tem uma área superficial de 600 (seiscentos) metros quadrados:

10 (base) x 10 (altura) = 100 m² (área de um lado);
Área Superficial = 100 x 6 (lados) = 600 m².

Tomando-se um cubo de altura "h" (qualquer aresta), base "b"(uma base perpendicular à aresta "h") e base 1 "b1" (outra base perpendicular à aresta "h") dividindo-se este cubo em vários outros cubos iguais com aresta de 1 (um) metro, temos:

1 metro é a décima parte de 10 metros, ou seja, temos 10 cubos na base e 10 cubos na altura em um único lado;
10 (b) x 10 (h) = 100 cubos em um dos lados;
100 x 10 (b1) = 1.000 cubos no total;
Área Superficial = (1.000 x 6) x 1 m² = 6.000 m².

Dividindo-se os cubos anteriores em vários outros cubos com aresta de 1 (um) centímetro, temos:

1 centímetro é a centésima parte de um metro;
100 (b) x 100 (h) = 10.000 cubos em um dos lados de um único cubo dividido;
10.000 x 100 (b1) = 1.000.000 de cubos em um único cubo;
1.000.000 x 1.000 (total de cubos divididos) = 1.000.000.000 de cubos no total;
Área Superficial = (1.000.000.000 x 6) x 1 cm² = 6 bilhões de cm² que equivalem a 600.000 m².

Seguindo sempre no mesmo raciocínio de (base x altura) = (resultado) x (base 1) = (resultado) x total de cubos divididos = resultado total, pegamos agora um único cubo com aresta de 1 cm e dividimos em vários cubos com 1 mm de aresta:

1 milímetro é a décima parte de 1 centímetro;
10 (b) x 10 (h) = 100 cubos em um dos lados;
100 x 10 (b1) = 1.000 cubos em um único cubo;
1.000 x 1.000.000.000 = 1.000.000.000.000 de cubos no total;
Área Superficial = ( 1 trilhão x 6) x 1 mm² = 6 trilhões de mm² que equivalem a 6.000.000 de m².

Seguimos na divisão pegando um cubo de aresta de 1 mm e dividindo em vários cubos com 1 μ (mícron) de aresta:

1 mícron é a milésima parte de 1 milímetro, ou seja, 1 milímetro dividido em mil partes iguais;
1.000 (b) x 1.000 (h) = 1.000.000 de cubos em um dos lados;
1.000.000 x 1.000 (b1) = 1.000.000.000 de cubos em um único cubo;
1.000.000.000 x 1.000.000.000.000 = 1.000.000.000.000.000.000.000 (1 sextilhão) de cubos no total;
Área Superficial = (1 sextilhão x 6) x 1 μ² = 6 sextilhões de μ² que equivalem a 6.000.000.000 (6 bilhões) de m².

Por fim, chegamos à escala nanométrica onde os cubos terão aresta de 1 nm:

1 nanometro é a milésima parte de 1 mícron;
1.000 (b) x 1.000 (h) = 1.000.000 de cubos em um dos lados;
1.000.000 x 1.000 (b1) = 1.000.000.000 de cubos em um único cubo;
1.000.000.000 x 1 sextilhão (10E21) = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (1 nonilhão [10E30]) de cubos no total;
Área Superficial = (1 nonilhão x 6) x 1 nm² = 6 nonilhões de nm² que equivalem a 6.000.000.000.000 (6 trilhões) de m².

Conclui-se que um cubo com aresta de 10 (dez) metros pode ser dividido em 1 nonilhão de cubos com aresta de 1 nm e ter a sua área superficial aumentada em 10 (dez) bilhões de vezes (600 m² [área superficial inicial] x 10.000.000.000 = 6 trilhões de m² [área superficial final]).

Considerando-se a massa constante e atribuindo-se um valor para ela de, por exemplo, 1 kg, podemos dizer que começamos com um valor de área superficial de 600 m² por quilograma e atingimos inacreditáveis 6 trilhões de metros quadrados por quilograma e reduzimos o tamanho da escala de macro para nano, ou seja, chegamos à escala nanométrica onde temos um melhor aproveitamento do espaço físico devido ao tamanho reduzido dos elementos.